ТОРА, МАТЕМАТИКА И
ГРЯДУЩЕЕ ОСВОБОЖДЕНИЕ
Сохранилось несколько писем рабби Леви-Ицхока Шнеерсона, адресованных его сыновьям, Исроэлу-Арье-Лейбу и Менахему-Мендлу, в период их учебы в Берлинском университете в начале 1930-х годов.
В письме от 24 тевеса 5692 года (03.02.1932), в годовщину кончины Алтер Ребе, рабби Леви-Ицхок пишет: «В математике – так же, как в любой сфере интеллектуальной деятельности, – непременно должны быть две составные части: 1) первичные представления и постоянные аксиомы – как, например, то, что целое больше своей части; 2) построения на этой основе всех теорий и открытий. Это соответствует Хохме (Мудрости) и Бине (Разумению), из которых Хохма – первичные представления, а Бина – система знаний, построенная на основе тех первичных представлений» (Ликутей Леви-Ицхок, Игройс кодеш, с. 250).
Тот факт, что все математические теории строятся на аксиомах, известен любому студенту, изучающему современную математику. А понятия «Хохма» и «Бина» знакомы каждому, кто обращался к кабале и учению хасидизма. Однако аналогия между аксиомами и построенными на их основе теориями, с одной стороны, и кабалистическими понятиями «Хохма» и «Бина», с другой, открывает, как нам представляется, совершенно новый аспект в аксиоматическом методе.
Что такое аксиоматический метод?
Аксиоматический метод приобрел особое значение в науке вообще и в математике в частности в середине XIX века. Однако прежде чем вплотную приступить к его обсуждению, необходимо рассмотреть более общий вопрос о соотношении науки и Торы.
Современная наука уже пришла к выводу, что ни одна из систем представлений, созданных человеческим разумом, не может быть названа «абсолютно верной». Любая из них базируется на ряде допущений, или аксиом, которые каждый волен принять или отвергнуть. Наиболее впечатляющий пример – понятие пространства в геометрии. В течение многих столетий все безоговорочно принимали стройную теорию Евклида, построенную на сформулированных им аксиомах. Однако в XIX веке отдельные математики предложили собственные системы аксиом, порождающие совершенно иные виды геометрии, и ученые в конце концов согласились, что эти новые концепции имеют такое же право на существование, как классическая евклидова геометрия. Более того, именно они оказались наиболее релевантными для построения общей теории относительности, над которой работал Эйнштейн.
Что превращает некое представление в аксиому? Можем ли мы высказать какое-то предположение и объявить его аксиомой?
В идеальном случае аксиомой является констатация факта, который всем интуитивно ясен, – таков пример, приведенный рабби Леви-Ицхоком, что «целое больше своей части». Другое непременное требование – чтобы это высказывание было максимально простым и не требовало другого высказывания для своего подтверждения. Рассмотрим в качестве примера так называемый «пятый постулат Евклида» («постулат о параллелях» или «аксиома о параллелях»). Он гласит: «Через каждую точку проходит лишь одна линия, параллельная данной прямой линии». На первый взгляд интуитивно это совершенно ясно. Тем не менее даже самые ранние комментаторы Евклида высказывали мнение, что аксиома эта не столь очевидна, чтобы ее можно было принять без доказательства. На протяжении истекшей тысячи лет многие пытались доказать «постулат о параллелях» с помощью других аксиом, но тщетно. Были и такие, кто шел по иному пути, стараясь найти новые аксиомы, из которых «постулат о параллелях» вытекал бы как следствие, но также безрезультатно. В конце концов было признано, что каждый волен принять «аксиому о параллелях» или отвергнуть ее.
Теперь обратимся к удивительному предсказанию Зоара, что в 5600 году от сотворения мира (то есть в 1840-м) начнется «потоп мудрости», который явится непосредственной подготовкой эры Мошиаха. Истолковывая слова Торы о распахнувшихся «источниках великой бездны и окнах небесных» (Брейшис, 7:11), Зоар говорит о «мудрости сверху» и «мудрости снизу». Седьмой Любавичский Ребе объясняет, что «мудрость сверху» – это учение хасидизма, «затопившее» землю Б-жественными знаниями и тем самым осуществляющее непосредственную подготовку прихода Мошиаха, когда «наполнится земля знанием Б-га, как морское <дно> укрывает вода» (Ишаяу, 11:9). А «мудрость снизу» – научные открытия и, фактически, полное обновление всех наук, ознаменовавшие рождение современной науки.
Вот тогда четко разграничились два подхода к аксиоме Евклида о параллелях: 1) некоторые математики, продолжавшие стоять на базе евклидовой геометрии, безоговорочно приняли ее; 2) другие – как Лобачевский и Риман – столь же безоговорочно отвергли и заменили альтернативной аксиомой, положив начало так называемой неевклидовой геометрии. (Так, в геометрии Лобачевского через любую точку можно провести две прямые линии, параллельные данной, а в геометрии Римана параллельные линии отсутствуют вовсе.) Чрезвычайно важно, что все ученые осознали: свобода выбора (принять или отвергнуть любую из этих геометрий) базируется на том, что ни одна из них не может претендовать на абсолютную истинность.
Оказалось, что все это имеет далеко идущие следствия. В результате так называемая «философия науки» обновилась полностью. Отныне ни одна научная теория (даже столь же простая и очевидная, как евклидова геометрия) более не рассматривалась как абсолютная. Все поставлено было в зависимость от аксиом, на которые данная теория опирается. Более того, к самим аксиомам более не предъявлялось требование интуитивной очевидности (как в случае новых геометрий). Особое значение это приобрело в середине XX века, когда Альберт Эйнштейн разработал свою (совершенно не ясную интуитивно) теорию пространства – общую теорию относительности, – одной из основ которой явилась геометрия Римана.
Приведем мнение одного ученого, суммировавшего современное положение в науке следующим образом: «Формальные науки характеризуются тем фактом, что их теоремы являются не отражением определенных аспектов реального мира, но постулатами чистого разума».
Урок, который преподает нам геометрия
Значение аксиоматики в целом и ее роль в геометрии, а также отношение ее к Торе раскрывает Любавичский Ребе в письме к молодому инженеру-еврею. Он пишет: «Хорошо известно высказывание Баал-Шем-Това (которое мы много раз слышали от Ребе, моего тестя [имеется в виду рабби Йосеф-Ицхок Шнеерсон, шестой Любавичский Ребе; 1880–1950. – Ш. С.]), что все, что еврей видит и слышит, безусловно содержит в себе какое-то указание для его служения Всевышнему <...> Я вижу из Вашего письма, что вы – инженер, однако осталось неясным, какого рода работой Вы занимаетесь: строите здания или занимаетесь измерениями – измерениями площади или т. п.? В любом случае в основе всего этого лежит геометрия. Какой же урок можно из этого вывести?
Особенность геометрии в том, что она – наука точная и одновременно прикладная <...> То же самое относится к нашей святой Торе. С одной стороны, она – мудрость Всевышнего, высшая степень истинности и точности, так что “не познал человечек ценность ее, и не найдется она в мире живущих” (Иов, 28:13). Но при всем этом конечное назначение ее выражено в названии: “Тора”, то есть “ойроа” – “указание”, “инструкция”. Тора – указание, относящееся к повседневной жизни еврея в этом мире – материальном и даже грубо материальном. И вышеуказанную противоположность можно обнаружить в фундаментальном и неизмеримом различии между Торой (о которой сказано, что она “мудрость ваша и разум ваш на глазах всех народов” [Дворим, 4:6]) и “мудростью и разумом” остальных народов, или между Торой и разумом животной души еврея.
Различие это следующего рода. Человеческий разум – даже будучи воплощен в так называемых “точных науках” – базируется на основах, не имеющих ничего общего с наукой. Потому что наука вообще и в особенности точная наука принимает в качестве вывода лишь то, что может быть подтверждено доказательством, а основы всех наук, включая математику и геометрию, никак не доказуемы, и, естественно, каждый человек волен принять их или отвергнуть. Особенно ярко это выражается в геометрии. Как известно, в ней есть три системы, каждая из которых базируется на ряде первичных допущений (аксиом), причем лежащие в основе данной системы противоречат лежащим в основе другой системы. Иными словами, наука не в состоянии сообщить человеку что-то ясное, определенное; она лишь предлагает ему такое условие: если ты примешь как истины данные аксиомы и метод оперирования ими, то получишь такие-то и такие-то результаты.
Здесь можно выделить два главных пункта. Первый: принятие или непринятие данных аксиом зависит лишь от свободной воли человека. Второй: даже если он принимает их, ничто не заставляет его вести себя в соответствии с полученными результатами. Ему как будто бы говорят: “Если ты будешь действовать вот в таком направлении, то следствием твоих действий будет то-то и то-то”. И если ему безразлично, что его действия могут причинить вред, ничто не препятствует ему действовать подобным образом. Иначе говоря, наука не дает человеку никаких указаний для его жизни, она лишь “рассказывает” ему о том, что, опираясь на предшествующий опыт и на аксиомы, которые он волен принять за истинные, можно предсказать, что дальнейшая последовательность событий будет такой-то и такой-то.
Совершенно противоположна этому наша святая Тора. Поскольку она – выражение мудрости “Истины Пресущего”[1], то есть Всевышнего, она, естественно, абсолютна. Тора абсолютно истинна – как в своих основах, так и в методах оперирования ими и получения результатов. Поскольку Тора – мудрость Творца всей вселенной и в том числе человека, то ясно, что все заключения и выводы Торы обязывают человека действовать в соответствии с ними, а не каким бы то ни было образом иначе.
Вот один из пунктов, который должен быть запечатлен в вашем уме как уме инженера. А именно, с позиции науки невозможно выставить никакого возражения против Торы, так как Тора – Истина абсолютная, а наука – как она сама свидетельствует о себе – не может претендовать на абсолютность, так как зависит от свободного волеизъявления человека. Человек волен создать взаимоисключающие системы, и возможно, что все они будут иметь право на существование как творения свободной воли человека. Пример тому – три геометрические системы: Евклида, Лобачевского и Римана–Эйлера» (Ребе Менахем-Мендл Шнеерсон, Игройс кодеш, т. 6, с. 145–146).
Происхождение аксиоматического метода
Из того, что система геометрии Евклида построена на аксиомах, видно, что аксиоматический метод прошел очень длинный путь. Аристотель, живший раньше Евклида, также использовал аксиоматический метод. Он писал: «Каждая наука, имеющая своей целью доказательство чего-либо, начинает с принципов, не поддающихся доказательствам. С другой стороны, количество шагов в доказательстве может быть бесконечным».
Но и Аристотель не является изобретателем аксиоматического метода. Профессор Раймонд Уайлдер, исследователь оснований математического мышления, пишет в своем «Введении в основы математики»: «Происхождение аксиоматического метода неизвестно».
Тем не менее, как свидетельствует приведенная выше цитата из письма рабби Леви-Ицхока Шнеерсона, аксиомы и построение на их основе научной теории соответствуют Хохме и Бине. Это, как нам представляется, и указывает на истинный источник аксиоматического метода. Понятия «Хохмы» и «Бины» изначально присущи именно еврейской Торе. Так, она сообщает (Шмойс, 31:3), что строитель Мишкана, первого Храма Израиля, Бецалел, сын Ури, был одарен и Хохмой, и Биной (а также все те, кто с ним работал ради создания Мишкана). Очень часто эта пара понятий – Хохма и Бина – упоминается в книге Мишлей. Одно из израильских колен, колено Исохора, было особо одарено Биной (см. Диврей а-йомим, I, 12:33) и создало ряд книг по математике и астрономии. Известно, что древнегреческие математики и астрономы овладевали этими науками под руководством еврейских мудрецов (см. Ликутей сихойс, т. 30, с. 195–196), поэтому весьма вероятно, что древнегреческие математики заимствовали аксиоматический метод у евреев, которые издавна пользовались им. «Сейдер адоройс»[2] сообщает, что Аристотель был знаком с первосвященником Иерусалимского Храма Шимоном а-цадиком и очень многому научился у него. Влияние «Шимони» (так Аристотель именует иерусалимского первосвященника) было столь сильным, что, по словам самого Аристотеля, он готов был пересмотреть всю свою философскую систему и изменить ее в соответствии с тем, что воспринял от Шимона а-цадика. Почему же он не сделал этого? Потому что, как сам он сказал, был уже слишком стар для такого свершения.
Аксиома Грядущего освобождения
Все, что Любавичский Ребе говорил о приходе Мошиаха и Грядущем освобождении, в особенности провозглашенное им «Пришло время освобождения вашего!», не что иное, как выражение аксиом Торы. Любая научная теория, темой которой является мировое развитие, в своей основе обязана иметь эти аксиомы. Каждый из нас может строить свою собственную теорию вселенной – но именно на этом основании, и потому ее внутренней сутью будут указания, что надлежит делать, чтобы приблизить Освобождение. В отличие от научных аксиом, созданных человеческим разумом, аксиомы Торы – Б-жественные и потому абсолютные.
Поэтому, когда время от времени мы видим в мире то, что не согласуется с аксиомой Освобождения, мы должны задать себе вопрос: что необходимо сделать, чтобы исправить положение? Главным указанием должна быть для нас другая аксиома, содержащаяся в Талмуде, которую Алтер Ребе приводит в «Тании»: «Ничего плохого не спускается с Небес». Вера в то, что гам зу летойво («это также к добру»), способствует тому, чтобы добро стало явным. Следовательно, мы должны принимать во внимание, что Грядущее освобождение имеет свой скрытый аспект, и твердо верить: гам зу летойво – это также к нашему благу. А практическим результатом нашей веры станет превращение этого аспекта в явное – окончательное, истинное и полное Освобождение!
[1] Выражение Рамбама, обозначающее Б-жественную Сущность (Мишне Тора, Законы об основаниях Торы, 1:1).
[2] Великий исторический труд, созданный раввином Минска Иехиелом Гальпериным (1660–1747), охватывающий всю историю человечества от сотворения Адама до эпохи автора.
Шимон Силман